Alef-nombro

En aroteorio, la alef-nombroj estas vico de nombroj, kiuj prezentas la kardinalojn (la ampleksojn) de nefiniaj aroj. Ili estas nomataj laŭ la simbolo uzata por signifi ilin, la hebrea litero alef (${\displaystyle \aleph }$).

La kardinalo de la naturaj nombroj estas ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (alef-nul), la sekva pli granda kardinalo estas ${\displaystyle \aleph _{1}}$ (alef-unu), la sekva estas ${\displaystyle \aleph _{2}}$ (alef-du) kaj tiel plu. Daŭrigante en ĉi tiu maniero, eblas difini kardinalon ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ por ĉiu orda numero α, kiel estas priskribite pli sube. Neformale, ${\displaystyle \aleph }$ (sen subskribo) estas bijekcio de la ordaj numeroj al la senfinaj kardinaloj. Sed formale, laŭ ZFC, ${\displaystyle \aleph }$ ne estas funkcio, ĉar nek la ordaj numeroj nek la kardinaloj estas matematika aro. Anstataŭ, ili estas matematikaj klasoj.

La alef-nombroj malsamas de la malfinio (∞) kutime aperanta en la baza algebro kaj kalkulo. Alef-nombroj mezuras la amplekson de aroj; malfinio, aliflanke, estas kutime difinita kiel (ege, ekstremuma) limigo de la reela nombra linio (aplikita al funkcio aŭ vico kiu malkonverĝas al malfinio aŭ pligrandiĝas sen baro), aŭ la ekstremuma punkto de la etendita reela nombra linio.

La koncepto fontas de Georg Cantor, kiu difinis la komprenaĵon de kardinalo kaj komprenis ke malfiniaj aroj povas havi malsamajn kardinalojn.